Рівновага Неша в покері

Рівновага Неша - це набір стратегій, у якому кожна стратегія є найкращою відповіддю на інші. У хедз-ап нульовосумних моделях покеру профіль рівноважних стратегій є неексплойтабельним. Якщо обидва гравці грають у рівновазі, жоден не може збільшити очікуване значення, змінивши лінії, сайзинги чи частоти.

• Найкраща відповідь (best response): контрстратегія, що максимізує ваше EV проти стратегії опонента.
• Експлойтабельність: скільки ідеальний суперник міг би вигравати з руки проти вашої стратегії. Менше - краще. Нульова експлойтабельність дорівнює рівновазі.
• Змішана стратегія: рандомізація між діями з певними частотами, щоб зробити опонентів байдужими й не дати експлойтити шаблони.

• Дає «безпечну базу». Гра поблизу рівноваги захищає від сильних суперників.
• Формує цільові частоти бетів, блефів і захисту, які важко експлойтити.
• Пояснює, на яких дошках і з якими сайзами доречна поляризація, а де потрібні малі, «злиті» ставки.
• Показує, коли варто колити до кінця, а коли фолдити, роблячи опонентів байдужими між блефом і пасом.

GTO - це Game Theory Optimal. У двогравцевих нульовосумних підіграх Техаського Холдему GTO-розв’язок є рівновагою Неша. Солвери обчислюють наближені рівноваги, ітеративно покращуючи стратегії, доки жодна сторона не виграє від відхилення. У мультивей-банках гра не нульовосумна, і повнотабличні рівноваги - не те, що видають інструменти; натомість отримуємо локальні наближення на базі хедз-ап абстракцій і принципів рівноваги.

Змоделюємо рівер: банк P і ставка бетора B. Бетор має або велью, або блеф. Захисник може колити чи фолдити. У рівновазі виконуються дві умови:

• Мінімальна частота захисту (MDF): MDF = P ÷ (P + B). Якщо захисник фолдить більше ніж 1 − MDF, бетор може блефувати «будь-які дві» з прибутком.
• Частка блефів у бетах: за поляризованого діапазону оптимальна частка блефів серед ставок дорівнює B ÷ (P + B). Співвідношення блефів до велью = B ÷ P.

Ці формули випливають із байдужості: захисник міксує кол/фолд так, щоб блефи були на нулі EV; бетор міксує велью й блефи так, щоб кол із найслабшими блеф-кечерами був на межі беззбитковості.

• Блефуйте лише частину природних кандидатів, щоб потрапити в цільову частку блефів. Обирайте за комбінаціями й блокерами.
• Захищайте лише стільки блеф-кечерів, скільки вимагає MDF, віддаючи перевагу рукам, що блокують велью й не блокують блефи.
• Для міксів використовуйте простий рандомайзер у грі: остання цифра годинника або стека - щоб виконувати спліти 30% чи 50%.

Префлоп-олл-іни на коротких стеках моделюються як двогравцеві ігри, що дають наш-чарти пушів і колів. Ці діапазони припускають хедз-ап, задані блайнди й анте та відсутність постфлопу. Вони корисні як базис для турнірів і BB vs SB.

• Діапазони пушу: що меншістеки, то ширші пуші - через високу цінність фолд-еквіті.
• Діапазони колу: проти оптимальних пушів коліть вужче, ніж здається. Занадто широкі колли дорогі, бо ви реалізуєте еквіті вже «за всі фішки».
• Застереження: анте, ICM і тенденції столу зсувають обидва діапазони. Використовуйте Nash як старт і коригуйте експлойтно.

Фул-ринг кеш і мультивей-банки не є нульовосумними між двома гравцями та значно складніші. Єдиного статичного профілю Неша для всіх - не існує на практиці. Натомість використовують парні/хедз-ап наближення та логіку побудови діапазонів, які лишаються корисними:

• Блефуйте менше зі збільшенням кількості гравців: потрібна більша частка фолдів, а щільність велью зростає.
• Обирайте «товстіше» велью та прозорі семі-блефи з еквіті.
• Поважайте рейзи: у мультивей у більшості пулів агресія зміщується до сили.

• Підбирайте сайзи з оглядом на рівноважну математику: великі ставки означають більшу частку блефів і вищі вимоги до захисту опонента.
• Ставте базові плани захисту через MDF, а потім підвищуйте/понижуйте руки завдяки блокерам і ефектам видалення.
• Будуйте полярні діапазони на рівері, коли маєте натс-перевагу, і «злиті» - коли багато середніх рук отримують кол гіршими.
• Використовуйте принципи рівноваги для тренувань і розборів, а під час гри підлаштовуйтесь під оверфолди/оверколли суперників.

• Думка, що Nash дає одну статичну таблицю «на всі випадки». Рівновага залежить від сайзингу, стеків, анте, позицій і діапазонів.
• Припущення, що ваш пул блефує з рівноважними частотами. На низьких лімітах великі рівер-ставки часто недоблефовані, а малі - переколені.
• Спроба «вибити» точні фриквенсії без урахування якості рук і блокерів. Спершу обирайте найкращих кандидатів у блефи.
• Сліпе застосування пуш-фолд Nash у стадіях із ICM. Виплати стискають коли й інколи пуші.

• Оберіть повторюваний спот, наприклад BTN vs BB у SRP на A72 rainbow.
• Задайте меню сайзів, наприклад 33% і 75% на флопі й терні.
• Побудуйте полярний і «злитий» план. Порахуйте велью-комбо та виділіть природні блефи з блокерами.
• Перевірте, чи приблизно збігаються ваші пропорції з рівноважними. Якщо ні - підкоригуйте, доки «історія» лінії узгоджена.
• Фіксуйте відхилення пулу - наприклад, оверфолд на терн-барелі або недоблеф овербетів - і записуйте експлойт-правила.

• MDF = P ÷ (P + B)
• Необхідна еквіті колу = B ÷ (P + B)
• Оптимальна частка блефів серед ставок на рівері (полярно) = B ÷ (P + B)
• Оптимальне співвідношення блеф : велью на рівері (полярно) = B ÷ P

Використовуйте це як базис, а далі підлаштовуйтесь під текстуру дошки, діапазони й тенденції опонентів.

• У двогравцевих нульовосумних моделях рівновага Неша = неексплойтабельна гра.
• Байдужість породжує MDF і частки блефів, що напряму залежать від розміру ставки.
• Пуш-фолд Nash - базис для коротких стеків у хедз-ап. Коригуйте під анте, ICM і пул.
• Мультивей не нульовосумний: застосовуйте ідеї рівноваги, але блефуйте менше й беріть «товстіше» велью.
• Тренуйтесь на рівновазі, а грайте експлойтно, коли суперники відхиляються.

Рівновага Неша дає структуру. Ваша перевага - у вмінні помічати відхилення реальних опонентів і обирати найкращу відповідь.